Relações métricas no triângulo retângulo
O triângulo é o polígono que possui menor número de lados, porém é um dos formatos geométricos mais significativos no ensinamento da geometria e, por isso, sempre intrigou matemáticos desde o período da Antiguidade.
Em um triangulo retângulo, o lado vertical, aqueles que produzem um ângulo de 90º, são chamados de catetos e o lado contrário ao ângulo de 90º é denominado de hipotenusa.
O teorema de Pitágoras é usado no triangulo retângulo e afirma que: a hipotenusa ao quadrado é igual a soma dos quadrados dos catetos.
h² = c² + c²
Em triângulos semelhantes, podem-se estabelecer determinadas relações métricas que são bastante importantes:
1) h² = m.n
2)b² = m.a
3)c² = a.n
4)b.c = a.h
Onde,
h = cateto oposto do triangulo 1 e 2
m = cateto adjacente do triangulo 1
n = cateto adjacente do triangulo 2
b = hipotenusa do triangulo 1
a = área total
c = hipotenusa do triangulo 2
Aplicação do teorema de Pitágoras
Um quadrado de lado l, com diagonal D que será a hipotenusa de um triangulo retângulo com catetos l. A partir disso, o teorema de Pitágoras pode ser usado para determinar uma expressão que medi a diagonal D com relação à medida dos lados.
d² = l² + l²
d² = 2l²
vd² = v2l²
d = lv2
– Altura do triângulo equilátero
Há um triangulo equilátero PQR, onde sua altura pode ser calculada com relação à medida l dos lados. Depois de determinar a altura heart do triangulo PQR, pode-se constatar um triângulo retângulo PQR de catetos h e l/2 e hipotenusa h. Usando o teorema de Pitágoras temos:
h² + (l/2)² = l²
h² + l²/4 = l²
h² = l² – l²/4
A partir daí, é feito o mínimo múltiplo comum (MMC):
4h² = 4l² – l²
4h² = 3l²
h² = 3l²/4
vh² = v3l²/4
h = l v3/2
– Diagonal do paralelepípedo
Em um paralelepípedo de arestas a, b e c, pode-se calcular a diagonal (d) utilizando a diagonal x da base nos cálculos do teorema de Pitágoras. Assim, temos:
x² = a² + b²
d² = x² + c²
Preenchendo os elementos, temos:
d² = a² + b² + c²
vd² = va² + b² + c²
d = va² + b² + c²
– Diagonal do cubo
Essa medição é um caso específico do paralelepípedo.
Temos um cubo onde a = b = c = l, por isso:
d = va + b² + c²
d = vl² + l² + l²
d = v3l²
d = lv3
Relações trigonométricas do triângulo retângulo
A trigonometria é um instrumento matemático muito usado na operação de distâncias que envolvem os triângulos retângulos. Antigamente, matemáticos usavam o conhecimento conquistado em trigonometria para fazer operações relacionadas à astronomia, definindo a distancia, quase que exata, entre a Terra e os demais planetas do sistema solar.
A trigonometria determina as relações entre os ângulos agudos de um triangulo retângulo e as dimensões de seus lados. Essas relações trigonométricas são:
1)Seno: razão entre o cateto oposto e a hipotenusa.
seno = cateto oposto/hipotenusa
2)Cosseno: razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.
cosseno = cateto adjacente/hipotenusa
3)Tangente: razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente.
tangente = cateto oposto/cateto adjacente
Um triângulo retângulo é formado por um ângulo de 90° e outros dois ângulos denominados a e ß, e os seus lados são representados pelas letras a, b e c, onde c é a hipotenusa e a e b os catetos oposto e adjacente, respectivamente.
A partir disso, temos:
– Para o ângulo a:
sen a = a/c
cos a = b/c
tg a = a/b
– Para o ângulo ß:
sen ß = b/c
cos ß = a/c
tg ß = b/a
Ex: Temos um triângulo retângulo com ângulos a e ß, e hipotenusa = 5, cateto oposto = 4 e cateto adjacente = 3. Os valores dos senos, cossenos e tangente desses ângulos são:
– Para o ângulo a:
sen a = 4/5
cos a = 3/5
tg a = 4/3
– Para o ângulo ß:
sen ß = 3/5
cos ß = 4/5
tg ß = 3/4
