Sistema de duas equações
O que é um sistema de duas equações.
Um sistema de duas equações é um método matemático para a resolução de problemas em que temos duas variáveis.
A seguir, temos um exemplo de uma equação de duas variáveis:
x + y = 4
6x – 4y = 8
Primeiro, devemos pensar: quais são as variáveis? Em matemática, as letras “X” e “Y” representam as variáveis.
Agora que já sabemos quais são as variáveis, vamos determinar o valor delas para que este sistema de equações seja verdadeiro.
Podemos utilizar dois métodos: o da adição e o da subtração. Vamos usar a equação acima para exemplificar estes métodos:
Método da substituição
No método da substituição, primeiro vamos isolar uma das variáveis. Vamos escolher a variável “X”.
Assim, a primeira equação ficará:
X = 4 – Y
Você percebeu que, quando passamos o y para o lado direito da equação, o sinal que o acompanha tornou-se negativo? É importante perceber estes detalhes para que a equação seja corretamente resolvida.
Agora, vamos pensar na segunda equação.
6x – 4y = 8
Vamos substituir o valor da variável X nesta equação pela igualdade que encontramos na primeira equação.
Desta maneira temos:
6. (4-y) -4y = 8
Note que, com esta substituição, temos apenas uma variável, a letra “Y”. Então, poderemos resolver como uma equação de uma variável:
24 – 6y – 4y = 8
24 – 10y = 8
– 10y = 8 – 24
– 10y = 16
Y = 16/ (-10)
Y = – 1,6 unidades.
Agora que já temos o valor de y, podemos retornar à primeira equação:
X + Y = 4
Como já sabemos o valor de Y, vamos substituí-lo na equação:
X + (1,6) = 4
X = 4 – 1,6
X = 2,4 unidades.
Logo, pelo método da substituição, temos a seguinte solução:
X,Y = (2,4; 1,6) unidades.
Este não é o único método para a resolução destas equações. Vamos fazer pelo método da adição:
Método da Adição:
Neste método, primeiro iremos somar as duas equações. Vamos fazer um exemplo para compreender melhor:
x + y = 4
6 x – 4y = 8
Onde a primeira equação é x + y = 4 e a segunda equação é 6 x – 4y = 8
Para somar as duas equações, primeiro precisamos que uma das somas resulte em zero. Para isto, vamos multiplicar a primeira equação por (-6). Assim, teremos:
x + y = 4 (-6)
6 x – 4y = 8
Agora que já multiplicamos, vamos reorganizar o sistema de equações:
-6x- 6y = – 24
6x- 4y = 8
Vamos adicionar os termos iguais. Assim, temos:
-6x + (+6x)= 0
– 6y + (-4y) = – 10 y
-24 + (+8 ) = – 16
Logo, teremos a seguinte equação:
0x – 10y = – 16
Qual o valor de X ? Para isto, basta seguirmos os procedimentos comuns para equações de uma variável:
10 Y = -16
Y = (-16) / (-10)
Y = + 1,6 unidades
Como já temos o valor de Y, podemos substituí-lo na primeira equação:
X + 1,6 = 4
X = 4 – 1,6
X = 2,4 unidades
Assim, a solução para o par de equações é:
X, Y = (2,4; -1,6 ) unidades
Note que chegamos aos mesmos valores para x e y do método anterior. Ou seja, o método utilizado não interfere no resultado final. Assim, você pode escolher qual dos dois métodos é mais adequado para resolver as equações que você precisar.
A este resultado chamamos de par ordenado (x, y). Estas equações também podem ser apresentadas de maneira gráfica, uma vez que ambas representam uma reta no plano cartesiano. Lembre-se que a equação da reta é definida por ax + b = 0
Problemas com sistemas de duas equações:
1) A diferença entre o dobro de um número e o triplo de outro número é igual a seis. Por sua vez, o quádruplo do primeiro número mais o segundo número é igual a 2. Quais são os números?
Vamos lá, quais são as equação?
2x – 3y = 6
4x + y = 2
Vamos utilizar o método da adição:
2x – 3y = 6 (-2)
-4x -6y = -12
Logo, teremos:
-4x -6y = -12
4x + y = 2
Vamos somar os termos iguais:
-4x + 4x = 0
-6y + y = -5y
-12 + 2 = -10
Agora, teremos a seguinte equação:
-5y = -10
Y = (-10) / (-5)
Y = 2 unidades
Se já temos o valor de Y, qual é o valor de X? Para descobrir, basta substituir os valores de Y na equação:
2x – 3y = 6
2x – 3 (2) = 6
2x – 6 = 6
2x = 12
X = 6 unidades.
Assim, o par ordenado das equações é (x,y) = ( 6, 2)
