Cálculo das razões trigonométricas

O aparecimento da trigonometria está relacionado com a instância do homem associar ângulos a distâncias inacessíveis. A ferramenta de ajuda usada para o avanço da trigonometria é o triangulo, no qual as relações específicas entre os ângulos e a medida dos seus lados foram definidas. Essa pesquisa foi chamada de razões trigonométricas conhecidas como seno, cosseno e tangente.

Essas razões são usadas no triangulo retângulo, aquele que apresenta um ângulo retângulo de 90°.

No triangulo os seus lados recebem nomenclaturas específicas, que são usadas na elaboração das razões trigonométricas. Em um triangulo de lados A, B e C, onde B é o ângulo de 90°, os lados A e C são chamados de catetos e o lado contrário ao ângulo reto é chamado de hipotenusa. É possível afirmar que a hipotenusa é o lado com o comprimento maior do triangulo retângulo.

Se nomearmos os lados de acordo com o ângulo C obtém-se que o cateto C é o oposto e o cateto A é o adjacente. Já se a referência for o ângulo A, o cateto oposto será A e o cateto adjacente será C.

Dessa maneira, a determinação do seno e cosseno seria a divisão entre o cateto oposto e o adjacente com a hipotenusa, e a tangente, por sua vez, a divisão entre o seno e o cosseno ou entre o cateto oposto e o cateto adjacente.

– Ângulo A

sen A = a/ b

cos A = c/ b

tg A = a/ c

– Ângulo C

sen C = c/ b

cos C = a/ b

tg C = c/ a

Os eventos que envolvem as razões trigonométricas aparecem por meio de fatos problemas e estão frequentemente ligadas a um triangulo retângulo. Os critérios resolutivos abrangendo padrões trigonométricos necessitam de um conhecimento sobre as razões trigonométricas, onde são usadas as relações seno, cosseno e tangente.

Ex:

Tendo que sen 28° = 0,46; cos 28° = 0,88 e tg 28° = 0,53 encontre o valor de x:

1) Em um triangulo retângulo com ângulo de 28°, o lado x é o cateto adjacente e a sua hipotenusa mede 8 cm. Qual o valor de x?

cos 28° = x/8

0,88 = x/8

x = 0,88. 8

x = 7,04 cm

2) Em um triangulo o lado x é o cateto oposto com relação ao ângulo de 28°, e o cateto adjacente mede 20 m. Qual o valor de x?

tg 28° = x/20

0,53 = x/20

x = 0,53. 20

x = 10,6 m

3) O lado indeterminado é oposto ao ângulo de 28° e mede 30 cm. Qual o valor de x?

sen 28° = x/30

0,46 = x/30

x = 0,46. 30

x = 13,8 cm

4) Um menino utilizou toda a linha que possuía em seu carretel para soltar uma pipa. Ao todo, a linha tinha 100 m. O ângulo formado da linha com a horizontal mede 18°. A quantos metros de altura a pipa está? (sen 18° = 0,3090)

sen 18° = h/ 100

0,3090 = h/100

h = 0,3090. 100

h = 30,9 m

Para determinar a distancia com relação ao solo, deve-se somar a distancia da mão do menino ao solo, que pode ser considerada a 1 m:

h = 30,9 + 1

h = 31,9 m

Portanto, a pipa está localizada a uma altura de aproximadamente 31,9 m.

5) Considerando que a tangente de um ângulo é 2, determine o seno α e o cos α.

tg α = sen α/ cos α = 2

sen α = 2. cos α

Fazendo a substituição temos:

sen2 α + cos2α = 1

4 cos2 α + cos2 α = 1

Portanto,

cos2 α = 1/5

cos α = 1/ √5 = (√5)/5

Por fim,

sen α = 2 cos α = (2√5)/5

Os cálculos mostrados acima apresentam o objetivo de achar as medidas desconhecidas fazendo uma relação entre as medidas dos ângulos e dos comprimentos, sempre procurando a ajuda das relações trigonométricas presentes. Nos modelos do dia a dia, onde o desenho geométrico insinua a imagem de um triangulo retângulo, também precisam ser utilizadas as propriedades e definições das relações trigonométricas na procurar por resultados.