Uso do Condicional na Lógica Matemática

Depois de estudar as operações lógicas de conjunção e disjunção, com os seus respectivos símbolos de lógica conhecidos como “conectivos”, agora vamos estudar como funciona a utilização dos outros dois símbolos na Lógica Matemática: Condicionais. Portanto, vamos falar sobre as proposições condicionais.

Condicional →
Se uma proposição é representada por “p → q”, então, temos uma proposição dentro da Lógica Matemática: Condicionais. Essa proposição pode ser lida, através da linguagem matemática, de diversas maneiras, como:

• Se “p” então “q”
• “p” é condição necessária para “q”
• “q” é condição suficiente para “p”

Em Lógica Matemática: Condicionais “p → q”, dizemos que “p” é antecedente e “q” consequente. O símbolo “→”, por sua vez, é intitulado de implicação e, portanto, indica uma relação de implicação.

A proposição condicional p → q só pode ser falta se “p” for verdadeira e “q” falsa. Em todos os outros casos possíveis, p → q é verdadeira.

Tabela Verdade para a condicional p → q:

p q p → q
V V V
V F F
F V V
F F V

Exemplos:

1- p: Neymar é brasileiro (V)
q: Cristiano Ronaldo é português (V)
p → q: Se Neymar é brasileiro, então Cristiano Ronaldo é português (V)

2- p: 3 + 3 = 6 (V)
q: 6 > 8 (F)
p → q: Se 3 + 3 = 6, então 6 > 8 (F)

3- p: O papa Francisco é brasileiro (F)
q: A rainha Elizabeth é inglesa (V)
p → q: Se o papa Francisco é brasileiro, então a rainha Elizabeth é inglesa (V)

4- p: O Brasil é um país da América do Norte (F)
q: O Chile é um país da Europa (F)
p → q: Se o Brasil é um país da América do Norte, então o Chile é um país da Europa (F)

Condicional ↔
Uma proposição que é representada por “p ↔ q” trata-se de uma proposição condicional que pode ser chamada, também, de proposição bicondicional na linguagem Lógica Matemática: Condicionais. Essa proposição pode ser lida das seguintes maneiras:
• “p e somente se q”
• “p é condição necessária e suficiente para q”
• “q é condição necessária e suficiente para p”
• “se p então q e reciprocamente”

Como pudemos analisar com os exemplos acima, na Lógica Matemática: condicionais o símbolo “↔” indica reciprocidade. Portanto, a proposição bicondicional “p ↔ q” só pode ser verdadeira nos casos em que tanto “p” quanto “q” são verdadeiras ou no caso em que ambas são falsas. Em todos os outros casos, “p ↔ q” é falsa.

Tabela Verdade para a Lógica Matemática Condicionais p ↔ q:

p q p ↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V

Exemplos:

1- p: Machado de Assis é autor de “Memórias Póstumas de Brás Cubas” (V)
q: Karl Marx é o autor de “O Capital” (V)
p ↔ q: Machado de Assis é autor de “Memórias Póstumas de Brás Cubas” se e somente se Karl Marx é autor de “O Capital” (V)

2- p: 4 x 4 = 16 (V)
q: 1 > 3 (F)
p ↔ q: 4 x 4 = 16 se e somente se 1 > 3 (F)

3- p: Os moradores do Rio de Janeiro são paulistanos (F)
q: Os moradores da região do nordeste são nordestinos (V)
p ↔ q: Os moradores do Rio de Janeiro são paulistanos se e somente se os moradores da região do nordeste são nordestinos (F)

4- p: Os cachorros pertencem à classe dos anfíbios (F)
q: Os gatos pertencem à classe dos anfíbios (F)
p ↔ q: Os cachorros pertencem à classe dos anfíbios se e somente se os gatos pertencem à classe dos anfíbios (F)

Regras de inferência
As proposições bicondicionais, assim como todos os conectivos em lógica de primeira ordem, possuem regras de inferência que determinam o seu uso nos mais diferentes tipos de provas formais e vestibulares, entre outros.

Em Lógica Matemática: Condicionais, a introdução bicondicional permite inferir que, se Q se segue a partir de P, e P decorre de Q, então P “se e somente se” Q.

Exemplo:
• “Se estou gemendo, então estou com dor”
• “Se estou com dor, então estou gemendo”
Pode-se inferir que:
• Estou gemendo, se e somente se, estou com dor
• Estou com dor, se e somente se, estou gemendo

Então:
Q → P
P → Q
_____________
∴ P ↔ Q

e:
Q → P
P → Q
_____________
∴ Q ↔ P

Eliminação da bicondicional
Em Lógica Matemática: Condicionais, a eliminação bicondicional permite inferir uma condicional de uma bicondicional. Veja o exemplo logo abaixo:
• Se (P ↔ Q) é verdadeira, então pode-se inferir um sentido da bicondicional, que é (P → Q) e (Q → A).

Por exemplo, se é verdade que eu estou gemendo, se e somente se, eu estou com dor, então é verdade que se eu estou gemendo, eu estou com dor, do mesmo modo que é verdade que se eu estou com dor, eu estou gemendo.

Formalmente escrito na linguagem matemática, isso quer dizer que:
( P ↔ Q )
____________
∴ ( P → Q )

E também:

( P ↔ Q )
____________
∴ ( Q → P)